Matematisk formelsamling – de generelle regneregler

Nogle generelle regneregler – helt tilbage fra folkeskolen og gymnasiet – anvendes næsten hele tiden i forbindelse med udledning af formler. Tilbage i gymnasiet udgav jeg en formelsamling med helt generelle regneregler. Disse samler jeg nu på denne side. Dette er altså de helt basale regneregler alle bør kunne.

Basale regneregler

Logaritmeregneregler

  • Logaritmen til 1 er altid lig med 0 – uanset hvilket grundtal x man anvender ved logaritme.
    log_x(1) = 0
  • Logaritmen til grundtallet er lig med 1.
    log(10) = 1
  • Logaritmen til et produkt er lig med summen af logaritmerne til hver faktor.
    log(a cdot b) = log(a) + log(b)
  • Logaritmen til en brøk er lig med differencen mellem logaritmen til tæller og logaritmen til nævner.
    logleft(frac{a}{b}right) = log(a) - log(b)
  • Logaritmen til en potens er lig med eksponenten gange logaritmen til grundtallet.
    log(a^p) = p cdot log(a)
  • Man kan skifte grundtal ved at dividere med logaritmen til det nye logaritme-grundtal.
    ln(x) = frac{log(x)}{log(e)}

Brøkregneregler

  • Vil man lægge to brøker sammen skal man først finde en fællesnævner og så lægge tællerne sammen.
    frac{a}{c} + frac{b}{d} = frac{ad}{cd} + frac{bc}{cd} = frac{ad+bc}{cd}
  • Man ganger et tal med en brøk ved at gange den ind i tæller.
    a cdot frac{b}{c} = frac{a cdot b}{c}
  • To brøker divideres med hinanden ved at putte tællers nævner ned i nævner og nævners nævner op i tæller.
    frac{frac{a}{b}}{frac{c}{d}} =�frac{a cdot d}{b cdot c}
  • Man ganger to brøker sammen ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.
    frac{a}{b} cdot�frac{c}{d} =�frac{a cdot c}{b cdot d}
  • Står der 0 i tæller giver hele brøken 0.
    frac{0}{a} = 0
  • Man kan ikke dividere med 0.
    frac{a}{0} �textrm{ er ikke defineret}

 Potensregneregler

  • Man ganger to potenser med samme grundtal sammen ved at lægge eksponenterne sammen.
    a^p cdot a^q = a^{p+q}
  • Man dividerer to potenser med samme grundtal ved at trække eksponenterne fra hinanden.
    frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}
  • Man opløfter en potens til en ny eksponent ved at gange eksponenterne sammen.
    left(a^pright)^q = a^{p cdot q}
  • En potens med eksponent 0 giver altid 1.
    a^0 = 1
  • Et produkt opløftet i en eksponent er lig med hver faktor opløftet i eksponenten og ganget sammen.
    (a cdot b)^p = a^p cdot b^p
  • En negativ eksponent er det samme som den reciprokke værdi af potensen med den positive eksponent.
    a^{-p} = frac{1}{a^p}

Kvadratrodsregneregler

  • En kvadratrod er det samme som en potens med eksponent ½.
    sqrt{a} = a^{1/2}
  • Kvadratroden af et produkt er det samme som produktet af kvadratroden af hver faktor.
    sqrt{a cdot b} = sqrt{a} cdot sqrt{b}
  • Kvadratroden af en brøk er det samme som en brøk med kvadratrod af henholdsvis tæller og nævner.
    sqrt{frac{a}{b}} =�frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}
  • Man kan ikke tage kvadratroden til et negativt tal (i hvert fald ikke hvis resultatet skal være et reelt tal).sqrt{a} textrm{ hvor } a<0 textrm{ er ikke defineret for reelle tal}

 Ophævelse af parenteser

  • Kvadratet på en 2-ledet størrelse – man tager det første led i anden plus det andet led i andet plus eller minus det dobbelte produkt.left(a pm bright)^{2} = a^2 + b^2 pm 2ab
  • Man ganger ind i en parentes ved at gange ind i hvert led.
    a cdot (b + c) = ab+ac
  • Står der minus foran en parentes ophæves parentesen ved at skifte fortegn på alle led i parentesen.
    a-(-b+c-d) = a+b-c+d
  • Står der plus foran en parentes kan den blot ophæves.
    a+(b-c+d) = a+b-c+d
  • To parenteser ganget med hinanden løses ved at gange ledvist mellem hver parentes.
    (a+b) cdot (c-d) = a cdot c-a cdot d+b cdot c-b cdot d

Geometri og trigonometri

Retvinklede trekanter

  • Pythagoras læresætning gælder for retvinklede trekanter, hvor a og b er kateter og c er hypotenuse.
    a^2 + b^2 = c^2
  • Sinus til en vinkel er lig med modstående katete divideret med hypotenusen.
    sin(v) = mod/hyp
  • Cosinus til en vinkel er lig med hosliggende katete divideret med hypotenusen.
    cos(v) = hos/hyp
  • Tangens til en vinkel er lig med modstående katete divideret med hosliggende katete – eller sinus divideret med cosinus.
    tan(v) = mod/hos = sin(v)/cos(v)

Generelle trekanter

trekant

  • Sinusrelationerne siger at forholdet mellem en side og sinus til modstående vinkel altid vil være den samme.
    frac{a}{sin(A)} =�frac{b}{sin(B)} =�frac{c}{sin(C)}
  • Cosinusrelationerne eller pythagoras udvidede læresætning:
    c^2 = a^2 + b^2 +2ab cdot cos(C)
  • Arealet af en trekant er en halv højde gange grundlinjen.
    A = frac{1}{2} cdot h cdot g
  • Arealet af en trekant er en halv gange produktet af 2 sider og sinus til modstående vinkel til den sidste side:
    A = frac{1}{2} cdot a cdot b cdot sinC

Rektangler

  • Arealet af et rektangel er længde gange bredde.
    A=l cdot b
  • Omkredsen af et rektangel er lig med 2 gange summen af længde og bredde.
    O = 2 cdot (l+b)

Trapeztrapez

  • Arealet af en trapez er lig med en halv gange højde  gange summen af de to parallelle sider.
    A = frac{1}{2} cdot h cdot (a+b)

 Parallelogramparallelogram

  • Arealet af et parallelogram er lig med højden gange grundlinjen.
    A = h cdot g

Cirkel

  • Arealet af en cirkel er lig med pi gange radius i anden.
    A = pi cdot r^2
  • Omkredsen af en cirkel er lig med 2 gange pi gange radius.
    A = 2 cdot pi cdot r

 Cylindercylinder

  • Volumen af en cylinder er lig med pi gange radius i anden gange højden.
    A = pi cdot r^2 cdot h
  • Den krumme overflade O er lig med 2 gange pi gange radius gange højden.
    O = 2 cdot pi cdot r cdot h

Keglerkegler

  • Volumen af kegler er lig med 1/3 af højden gange grundfladearealet G.
    V = frac{1}{3} cdot h cdot G

 Pyramidepyramide

  • Volumen af en pyramide er lig med 1/3 af højden gange grundfladearealet G.
    V = frac{1}{3} cdot h cdot G

Kuglekugle

  • Volumen af en kugle er 4/3 gange pi gange radius i tredje.
    V = frac{4}{3} cdot pi cdot r^3
  • Overfladearealet O af en kugle er lig med 4 gange pi gange radius i anden.
    O = 4 cdot pi cdot r^2

Funktioner

Lineær funktion

  • Ligning for en lineær funktion:
    f(x) = ax+b
  • Løsning til en lineær ligning:
    x=frac{-b}{a}
  • Hældning:
    a = frac{Delta y}{Delta x}
  • Konstantled:
    b = y-ax

Hyperbel

  • Ligning for hyperbel:
    f(x) = frac{a}{x}

Andengradspolynomium

  • Ligning for andensgradspolynomium:
    f(x) = ax^2+bx+c
  • Løsning for andengradsligning hvor diskriminanten d=b^2-4ac:
    x=frac{-b pm sqrt{d}}{2a}
  • Toppunkt:
    left(frac{-b}{2a};frac{-d}{4a}right)

Vektorregning

Generelle vektorformler

  • Længden af en vektor finder man ved kvadratroden af kvadratet på hver koordinat:
    |vec{a}| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}
  • Man ganger et tal med en vektor ved at gange tallet ind i hver koordinat:
    k cdot (a_1, a_2) = (k cdot a_1, k cdot a_2)
  • Summen af to vektorer findes ved at summere hver koordinat:
    (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1+b_1, a_2+b_2)
  • Differencen mellem to vektorer findes ved at tage differencen af hver koordinat:
    (a_1, a_2) - (b_1, b_2) = (a_1-b_1, a_2-b_2)
  • Skalarproduktet/prikproduktet sker ved at gange samme koordinater og så lægge produkterne sammen.
    (a_1, a_2) cdot (b_1, b_2) = a_1 cdot b_1 + a_2 cdot b_2
  • Vinklen mellem to vektorer er prikproduktet divideret med produktet af længerne:
    cosalpha = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}|cdot |vec{b}|}
  • Hvis to vektorer er vinkelrette (ortogonale) er prikproduktet 0.
    vec{a} cdot vec{b} = 0
  • Projectionen af vektor b på a:
    vec{b_a} = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}|^2} vec{a}
  • Længden af en projektion:
    |vec{b_a}| = frac{|vec{a} cdot vec{b}|}{|vec{a}|}
  • Tværvektoren/Hatvektoren:
    hat{vec{a}} = hat{(a_1,a_2)} = (-a_2,a_1)
  • Determinanten:
    det(vec{a},vec{b}) = hat{vec{a}} cdot vec{b} = a_1 cdot b_2 - a_2 cdot b_1
  • Determinanten:
    det(vec{a},vec{b}) �= |vec{a}||vec{b}|sinalpha
  • Determinanten er lig med 0 ved parallelle vektorer:
    det(vec{a},vec{b})=0
  • Arealet af det parallelogram der udspændes af to vektorer:arealvektor
    A = |det(vec{a},vec{b})|= |vec{a} x vec{b}|
  • Krydsproduktet:
    |vec{a} x vec{b}| = |vec{a}||vec{b}|sinalpha

Data og enheder

Volumen

volumen

Mere info

Se mere info i disse formelsamlinger:

4 thoughts to “Matematisk formelsamling – de generelle regneregler”

  1. Der er også byttet om på tangens til en vinkel, tangens er den modstående katete delt med den hosliggende katete

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *