Bevis for løsning af andengradsligning

I denne artikel vil jeg vise hvordan man gennemfører et bevis for løsningen af andengradsligninger. En andengradsligning er en ligning hvor der indgår en ubekendt i 2. potens:

ax^2 + bx + c = 0

Hvor vi her vil sige at både a, b, c og x er reelle tal. Man kan faktisk godt udvide det til komplekse tal, men dette vil jeg ikke komme ind på her.

En løsning til denne er:

x = frac{-bpm sqrt{d}}{2a}

Bevis for formlen

ax^2 + bx + c = 0

Først vil vi dividere med a i alle led:

x^2 + frac{b}{a}x + frac{c}{a}�= 0

Herefter skriver vi dette som kvadratet på en 2-ledet størrelse:

left( x+frac{b}{2a} right)^2 �- frac{b^2}{4a^2} �+ frac{c}{a}�= 0

På denne måde har vi nu fået omformet ligningen så x kun står en gang. Så kan vi nemlig isolere x.

left( x+frac{b}{2a} right)^2 �= frac{b^2}{4a^2} �-�frac{c}{a} = frac{b^2-4ac}{4a^2} �

Nu definerer vi en ny størrelse d som værende lig d=b^2-4ac og erstatter i ligningen. Vi kalder den for diskriminanten.

left( x+frac{b}{2a} right)^2 �=�frac{d}{4a^2} �

Så tager vi kvadratroden på begge sider:

x+frac{b}{2a} � =�frac{pm�sqrt{d}}{2a} �

Så isolerer vi x og får den endelige løsning:

x = frac{-bpm sqrt{d}}{2a}

Hermed er det bevist at der er denne løsning for en andengradsligning.

Antal løsninger

Af formlen fremgår der at der er to løsninger til en andengradsligning. En hvor der står plus foran kvadratroden til diskriminanten og en hvor der står minus foran diskriminanten.

Men det er jo ikke sikkert at begge to løsninger altid kan bruges. Vi har nemlig i starten stillet som krav at x skulle være et reelt tal. Og det vil det kun være hvis diskriminanten er lig med 0 eller positiv. Er den negativ er det ikke et reelt tal og de løsninger kan ikke bruges. Hvis diskriminanten er lig med 0 vil de to løsninger være sammenfaldende, da sqrt{0}=0. Er diskriminanten positiv vil der være to forskellige løsninger.

Med andre ord er det diskriminanten der bestemmer antallet af løsninger, hvis løsningen x skal være et reelt tal. Vi kan opsummere antallet af reelle løsninger:

  • d<0 giver ingen reelle løsninger
  • d=0 giver en løsning (to sammenfaldende løsninger)
  • d>0 giver to løsninger

Det er faktisk her at løsning af reelle og komplekse andengradsligninger adskiller sig fra hinanden, da man godt kan tage kvadratroden af et negativt tal ved komplekse tal (det kan man ikke ved reelle tal). Det viser sig at man kan vise at hvis man tillader x at være en kompleks tal, vil der altid være to løsninger – ved d=0 vil de to løsninger dog være sammenfaldende.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *